Comprender qué es un cuadro greco-latino y su relación con el cuadro latino.
Un Diseño en Cuadro Greco-Latino (DCGL) es una extensión del Cuadro Latino que incluye una tercera variable de control o variable de bloqueo. Se obtiene por superposición de dos Cuadros Latinos del mismo orden y ortogonales entre sí: uno con letras latinas y otro con letras griegas.
El modelo en Cuadro Greco-Latino es una fracción del diseño completo en bloques aleatorizados con un factor principal y tres factores secundarios. Mientras que el diseño completo requeriría $K^4$ observaciones, el Cuadro Greco-Latino solo requiere $K^2$ observaciones.
Los Cuadros Greco-Latinos fueron estudiados extensivamente por Euler, quien demostró que no existen Cuadros Greco-Latinos de orden 6. Esta limitación es conocida como el "problema de los 36 oficiales" de Euler.
En la tabla siguiente se muestra un Cuadro Greco-Latino para $K = 4$:
Nota: Cada letra latina y griega aparece exactamente una vez en cada fila y columna. Cada combinación letra latina-griega aparece a lo sumo una vez.
No es posible formar Cuadros Greco-Latinos de orden 6. Esto se conoce como el "problema de los 36 oficiales" de Euler, quien preguntó si era posible disponer 36 oficiales de 6 regimientos diferentes y 6 rangos en un cuadrado de modo que cada regimiento y cada rango aparezca exactamente una vez en cada fila y columna.
Un Cuadro Greco-Latino de orden $K$ se denota como $\mathrm{GreekLatin}(K)$. El número de observaciones es:
donde $K$ es el número de niveles de cada factor
Estudiar la estructura, supuestos y condiciones de existencia.
En un Diseño en Cuadro Greco-Latino se tienen cuatro factores, cada uno con $K$ niveles:
No existe interacción entre los factores (filas, columnas, letras latinas y letras griegas). Este supuesto es crítico para la validez del análisis.
Los supuestos para el análisis de varianza de un Cuadro Greco-Latino son:
Teorema:
Un Cuadro Greco-Latino de orden $K$ existe si y solo si existe un par de Cuadros Latinos ortogonales de orden $K$.
Esto ocurre cuando $K$ es un número primo o una potencia de un número primo.
| Orden ($K$) | ¿Existe Cuadro Greco-Latino? | Razón |
|---|---|---|
| 2 | Sí | $2 = 2^1$ (primo) |
| 3 | Sí | $3 = 3^1$ (primo) |
| 4 | Sí | $4 = 2^2$ (potencia de primo) |
| 5 | Sí | $5 = 5^1$ (primo) |
| 6 | No | No es primo ni potencia de primo |
| 7 | Sí | $7 = 7^1$ (primo) |
Formular el modelo lineal, estimadores, residuos, SC y pruebas F.
El modelo estadístico para un Diseño en Cuadro Greco-Latino es:
Sus componentes son:
Se utiliza la siguiente notación, donde $N = K^2$ es el número total de observaciones:
Totales y promedios marginales por factor:
La variabilidad total ($K^2 - 1$ GL) se descompone en cinco fuentes:
| Fuente de Variación | Grados de Libertad |
|---|---|
| Filas (Factor principal) | $K - 1$ |
| Columnas (Bloque 2) | $K - 1$ |
| Letras Latinas (Bloque 3) | $K - 1$ |
| Letras Griegas (Bloque 4) | $K - 1$ |
| Error | $(K-1)(K-3)$ |
| Total | $K^2 - 1$ |
Los GL del error resultan de restar los GL de los cuatro factores al total:
$$\text{GL}_{\text{Error}} = (K^2 - 1) - 4(K-1) = (K-1)(K-3)$$
Para $K = 4$: $\text{GL}_{\text{Error}} = 3 \times 1 = 3$. Para $K = 5$: $\text{GL}_{\text{Error}} = 4 \times 2 = 8$.
Siguiendo el método de máxima verosimilitud, los estimadores de los parámetros del modelo son:
Los residuos del modelo adoptan la expresión:
Como en el diseño en cuadro latino, los residuos suman cero por filas, por columnas, para cada letra latina y para cada letra griega. La varianza residual estimada (insesgada) es:
La ecuación básica del análisis de la varianza para el cuadro greco-latino descompone la variabilidad total en cinco componentes:
Simbólicamente:
donde cada sigla representa:
Las expresiones abreviadas para el cálculo son:
SC Total:
SC Filas (factor principal):
SC Columnas (bloque 2):
SC Letras Latinas (bloque 3):
SC Letras Griegas (bloque 4):
SC Error (por diferencia):
Los cuadrados medios se obtienen dividiendo cada SC entre sus grados de libertad. La columna $E(\text{CM})$ muestra el valor esperado, que justifica por qué se usa el cociente $F$:
| Fuente | Cuadrado Medio | Valor Esperado $E(\text{CM})$ |
|---|---|---|
| Filas | $\hat{S}_F^2 = \dfrac{SCF}{K-1}$ | $\sigma^2 + \dfrac{K\sum\tau_i^2}{K-1}$ |
| Columnas | $\hat{S}_C^2 = \dfrac{SCC}{K-1}$ | $\sigma^2 + \dfrac{K\sum\beta_j^2}{K-1}$ |
| L. Latinas | $\hat{S}_L^2 = \dfrac{SCL}{K-1}$ | $\sigma^2 + \dfrac{K\sum\gamma_h^2}{K-1}$ |
| L. Griegas | $\hat{S}_G^2 = \dfrac{SCG}{K-1}$ | $\sigma^2 + \dfrac{K\sum\delta_p^2}{K-1}$ |
| Error | $\hat{S}_R^2 = \dfrac{SCR}{(K-1)(K-3)}$ | $\sigma^2$ |
Se plantean cuatro contrastes ortogonales, uno por cada factor:
Los estadísticos de contraste para verificar cada hipótesis son:
| Factor | Estadístico $F$ |
|---|---|
| Filas | $F_\tau = \hat{S}_F^2 \;/\; \hat{S}_R^2$ |
| Columnas | $F_\beta = \hat{S}_C^2 \;/\; \hat{S}_R^2$ |
| Letras Latinas | $F_\gamma = \hat{S}_L^2 \;/\; \hat{S}_R^2$ |
| Letras Griegas | $F_\delta = \hat{S}_G^2 \;/\; \hat{S}_R^2$ |
Bajo las hipótesis nulas, cada estadístico $F$ sigue una distribución $F$ de Snedecor con $K-1$ y $(K-1)(K-3)$ grados de libertad. Por lo tanto:
Conocer ortogonalidad, construcción y relación con otros diseños.
En un Cuadro Greco-Latino, los cuatro factores (filas, columnas, letras latinas y letras griegas) son ortogonales, lo que significa que los efectos de cada factor se estiman de manera independiente.
Esta ortogonalidad implica que:
Un Cuadro Greco-Latino de orden $K$ se construye superponiendo dos Cuadros Latinos ortogonales de orden $K$:
Un Cuadro Greco-Latino se dice estándar si:
| Diseño | Factores Controlados | Observaciones |
|---|---|---|
| Completamente Aleatorizado | 0 | $K \times r$ |
| DBCA | 1 | $K \times r$ |
| Cuadro Latino | 2 | $K^2$ |
| Cuadro Greco-Latino | 3 | $K^2$ |
El Cuadro Greco-Latino es una extensión natural del Cuadro Latino, añadiendo un cuarto factor de bloqueo mediante letras griegas.
Presentar la forma general de la tabla ANOVA y el coeficiente R².
La tabla ANOVA genérica para un diseño en Cuadro Greco-Latino de orden $K$ se presenta a continuación (Tabla 5-10 del PDF):
| Fuente de Variación | Suma de Cuadrados | GL | CM | $F_{\text{exp}}$ |
|---|---|---|---|---|
| E. fila | $\frac{1}{K}\sum_i y_{i\cdots}^2 - \frac{y_{\cdots}^2}{K^2}$ | $K-1$ | $\hat{S}_F^2$ | $\hat{S}_F^2 / \hat{S}_R^2$ |
| E. columna | $\frac{1}{K}\sum_j y_{\cdot j\cdot\cdot}^2 - \frac{y_{\cdots}^2}{K^2}$ | $K-1$ | $\hat{S}_C^2$ | $\hat{S}_C^2 / \hat{S}_R^2$ |
| E. letra latina | $\frac{1}{K}\sum_h y_{\cdot\cdot h\cdot}^2 - \frac{y_{\cdots}^2}{K^2}$ | $K-1$ | $\hat{S}_L^2$ | $\hat{S}_L^2 / \hat{S}_R^2$ |
| E. letra griega | $\frac{1}{K}\sum_p y_{\cdots p}^2 - \frac{y_{\cdots}^2}{K^2}$ | $K-1$ | $\hat{S}_G^2$ | $\hat{S}_G^2 / \hat{S}_R^2$ |
| Residual | $SCT - SCF - SCC - SCL - SCG$ | $(K-1)(K-3)$ | $\hat{S}_R^2$ | |
| TOTAL | $\sum_{i}\sum_{j} y_{ij(hp)}^2 - \frac{y_{\cdots}^2}{K^2}$ | $K^2 - 1$ |
Para cada factor, se rechaza $H_0$ si $F_{\text{exp}} > F_{\alpha,\;(K-1),\;(K-1)(K-3)}$. Bajo $H_0$, cada $F$ sigue una distribución $F$ con $K-1$ y $(K-1)(K-3)$ grados de libertad.
Donde $R_\tau^2$, $R_\beta^2$, $R_\gamma^2$ y $R_\delta^2$ son los coeficientes de determinación parciales que miden la proporción de variabilidad explicada por cada factor.
Aplicar el DCGL 4×4 con cálculos manuales y verificación Python.
En la obtención de un determinado producto químico se está interesado en comparar cuatro procedimientos. Se supone que también pueden influir la temperatura, presión y tipo de catalizador empleado. Se decide realizar un experimento en Cuadro Greco-Latino con cuatro niveles de cada factor:
| Proc. | T1 | T2 | T3 | T4 | $y_{i\cdots}$ | $y_{i\cdots}^2$ | $\sum_j y_{ij}^2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P1 | Cβ = 5 | Bα = 12 | Aδ = 13 | Dγ = 13 | 43 | 1849 | 507 |
| P2 | Bγ = 6 | Cδ = 10 | Dα = 15 | Aβ = 11 | 42 | 1764 | 482 |
| P3 | Dδ = 7 | Aγ = 5 | Bβ = 5 | Cα = 7 | 24 | 576 | 148 |
| P4 | Aα = 11 | Dβ = 10 | Cγ = 8 | Bδ = 9 | 38 | 1444 | 366 |
| $y_{\cdot j\cdot\cdot}$ | 29 | 37 | 41 | 40 | 147 | 5633 | 1503 |
| $y_{\cdot j\cdot\cdot}^2$ | 841 | 1369 | 1681 | 1600 | 5491 |
| Letra Latina | Observaciones (posición) | $y_{\cdot\cdot h\cdot}$ | $y_{\cdot\cdot h\cdot}^2$ |
|---|---|---|---|
| A | 11 (P4,T1) 5 (P3,T2) 13 (P1,T3) 11 (P2,T4) | 40 | 1600 |
| B | 6 (P2,T1) 12 (P1,T2) 5 (P3,T3) 9 (P4,T4) | 32 | 1024 |
| C | 5 (P1,T1) 10 (P2,T2) 8 (P4,T3) 7 (P3,T4) | 30 | 900 |
| D | 7 (P3,T1) 10 (P4,T2) 15 (P2,T3) 13 (P1,T4) | 45 | 2025 |
| 147 | 5549 |
| Letra Griega | Observaciones (posición) | $y_{\cdots p}$ | $y_{\cdots p}^2$ |
|---|---|---|---|
| α | 11 (P4,T1) 12 (P1,T2) 15 (P2,T3) 7 (P3,T4) | 45 | 2025 |
| β | 5 (P1,T1) 10 (P4,T2) 5 (P3,T3) 11 (P2,T4) | 31 | 961 |
| γ | 6 (P2,T1) 5 (P3,T2) 8 (P4,T3) 13 (P1,T4) | 32 | 1024 |
| δ | 7 (P3,T1) 10 (P2,T2) 13 (P1,T3) 9 (P4,T4) | 39 | 1521 |
| 147 | 5531 |
import numpy as np
from scipy import stats
# ══════════════════════════════════════════════════
# Datos del Cuadro Greco-Latino 4x4 (Ejemplo 8.2)
# ══════════════════════════════════════════════════
y = np.array([
[5, 12, 13, 13], # P1: Cβ, Bα, Aδ, Dγ
[6, 10, 15, 11], # P2: Bγ, Cδ, Dα, Aβ
[7, 5, 5, 7], # P3: Dδ, Aγ, Bβ, Cα
[11, 10, 8, 9] # P4: Aα, Dβ, Cγ, Bδ
])
K = 4
N = K ** 2
# ── Totales de filas y columnas ──
y_i = y.sum(axis=1) # [43, 42, 24, 38]
y_j = y.sum(axis=0) # [29, 37, 41, 40]
y_total = y.sum() # 147
# ── Totales por letra latina (Presión: A, B, C, D) ──
y_A = y[0,2] + y[1,3] + y[2,1] + y[3,0] # 13+11+5+11 = 40
y_B = y[0,1] + y[1,0] + y[2,2] + y[3,3] # 12+6+5+9 = 32
y_C = y[0,0] + y[1,1] + y[2,3] + y[3,2] # 5+10+7+8 = 30
y_D = y[0,3] + y[1,2] + y[2,0] + y[3,1] # 13+15+7+10 = 45
y_latin = np.array([y_A, y_B, y_C, y_D])
# ── Totales por letra griega (Catalizador: α, β, γ, δ) ──
y_alpha = y[0,1] + y[1,2] + y[2,3] + y[3,0] # 12+15+7+11 = 45
y_beta = y[0,0] + y[1,3] + y[2,2] + y[3,1] # 5+11+5+10 = 31
y_gamma = y[0,3] + y[1,0] + y[2,1] + y[3,2] # 13+6+5+8 = 32
y_delta = y[0,2] + y[1,1] + y[2,0] + y[3,3] # 13+10+7+9 = 39
y_greek = np.array([y_alpha, y_beta, y_gamma, y_delta])
# ── Sumas de Cuadrados ──
FC = y_total ** 2 / N # 1350.5625
SCT = (y ** 2).sum() - FC # 152.4375
SCF = (y_i ** 2).sum() / K - FC # 57.6875
SCC = (y_j ** 2).sum() / K - FC # 22.1875
SCL = (y_latin ** 2).sum() / K - FC # 36.6875
SCG = (y_greek ** 2).sum() / K - FC # 32.1875
SCR = SCT - SCF - SCC - SCL - SCG # 3.6875
# ── Grados de libertad ──
gl_F = gl_C = gl_L = gl_G = K - 1 # 3
gl_R = (K - 1) * (K - 3) # 3
gl_T = N - 1 # 15
# ── Cuadrados medios y estadísticos F ──
CM_F = SCF / gl_F; CM_C = SCC / gl_C
CM_L = SCL / gl_L; CM_G = SCG / gl_G
CM_R = SCR / gl_R
F_F = CM_F / CM_R; F_C = CM_C / CM_R
F_L = CM_L / CM_R; F_G = CM_G / CM_R
p_F = 1 - stats.f.cdf(F_F, gl_F, gl_R)
p_C = 1 - stats.f.cdf(F_C, gl_C, gl_R)
p_L = 1 - stats.f.cdf(F_L, gl_L, gl_R)
p_G = 1 - stats.f.cdf(F_G, gl_G, gl_R)
# ── Coeficiente de determinación ──
R2 = (SCF + SCC + SCL + SCG) / SCT
R2_F = SCF / SCT; R2_C = SCC / SCT
R2_L = SCL / SCT; R2_G = SCG / SCT
alpha = 0.05
F_crit = stats.f.ppf(1 - alpha, gl_F, gl_R)
print("=" * 75)
print("TABLA ANOVA - CUADRO GRECO-LATINO 4x4")
print("=" * 75)
print(f"{'Fuente':<25} {'SC':>10} {'GL':>5} {'CM':>10} {'F':>8} {'p':>8}")
print("-" * 75)
print(f"{'Filas (Proc.)':<25} {SCF:>10.4f} {gl_F:>5} {CM_F:>10.4f} {F_F:>8.2f} {p_F:>8.4f}")
print(f"{'Columnas (Temp.)':<25} {SCC:>10.4f} {gl_C:>5} {CM_C:>10.4f} {F_C:>8.2f} {p_C:>8.4f}")
print(f"{'L. Latinas (Pres.)':<25} {SCL:>10.4f} {gl_L:>5} {CM_L:>10.4f} {F_L:>8.2f} {p_L:>8.4f}")
print(f"{'L. Griegas (Catal.)':<25} {SCG:>10.4f} {gl_G:>5} {CM_G:>10.4f} {F_G:>8.2f} {p_G:>8.4f}")
print(f"{'Error':<25} {SCR:>10.4f} {gl_R:>5} {CM_R:>10.4f}")
print("-" * 75)
print(f"{'TOTAL':<25} {SCT:>10.4f} {gl_T:>5}")
print("=" * 75)
print(f"\nF crítico (α={alpha}, {gl_F}, {gl_R}) = {F_crit:.2f}")
print(f"\nR² = {R2:.4f} ({R2*100:.1f}% de variabilidad explicada)")
print(f" R²_Filas = {R2_F:.4f} R²_Col = {R2_C:.4f}")
print(f" R²_Lat = {R2_L:.4f} R²_Gri = {R2_G:.4f}")
print(f"\n--- CONCLUSIONES (α = {alpha}) ---")
for nombre, F_val, p_val in [
("Filas (Procedimientos)", F_F, p_F),
("Columnas (Temperaturas)", F_C, p_C),
("L. Latinas (Presión)", F_L, p_L),
("L. Griegas (Catalizadores)", F_G, p_G)]:
sig = "SIGNIFICATIVO" if p_val < alpha else "No significativo"
print(f" {nombre}: F={F_val:.2f}, p={p_val:.4f} → {sig}")=========================================================================== TABLA ANOVA - CUADRO GRECO-LATINO 4x4 =========================================================================== Fuente SC GL CM F p --------------------------------------------------------------------------- Filas (Proc.) 57.6875 3 19.2292 15.64 0.0252 Columnas (Temp.) 22.1875 3 7.3958 6.02 0.0786 L. Latinas (Pres.) 36.6875 3 12.2292 9.95 0.0348 L. Griegas (Catal.) 32.1875 3 10.7292 8.73 0.0494 Error 3.6875 3 1.2292 --------------------------------------------------------------------------- TOTAL 152.4375 15 =========================================================================== F crítico (α=0.05, 3, 3) = 9.28 R² = 0.9758 (97.6% de variabilidad explicada) R²_Filas = 0.3784 R²_Col = 0.1455 R²_Lat = 0.2406 R²_Gri = 0.2112 --- CONCLUSIONES (α = 0.05) --- Filas (Procedimientos): F=15.64, p=0.0252 → SIGNIFICATIVO Columnas (Temperaturas): F=6.02, p=0.0786 → No significativo L. Latinas (Presión): F=9.95, p=0.0348 → SIGNIFICATIVO L. Griegas (Catalizadores): F=8.73, p=0.0494 → No significativo
| Fuente de Variación | SC | GL | CM | $F_{\text{exp}}$ | Valor p |
|---|---|---|---|---|---|
| Filas (Procedimientos) | 57.6875 | 3 | 19.2292 | 15.64 | 0.0252 |
| Columnas (Temperaturas) | 22.1875 | 3 | 7.3958 | 6.02 | 0.0786 |
| L. Latinas (Presión) | 36.6875 | 3 | 12.2292 | 9.95 | 0.0348 |
| L. Griegas (Catalizadores) | 32.1875 | 3 | 10.7292 | 8.73 | 0.0494 |
| Error | 3.6875 | 3 | 1.2292 | ||
| TOTAL | 152.4375 | 15 |
El modelo explica el 97.6% de la variabilidad total. Los coeficientes parciales son: $R_\tau^2 = 0.378$, $R_\beta^2 = 0.146$, $R_\gamma^2 = 0.241$, $R_\delta^2 = 0.211$.
Practicar conceptos del DCGL.
¿Cuál es la principal diferencia entre un Diseño en Cuadro Latino y un Diseño en Cuadro Greco-Latino?
La principal diferencia radica en el número de factores de bloqueo:
En términos del modelo, el Cuadro Greco-Latino añade un término más ($\delta_p$) al modelo del Cuadro Latino.
¿Por qué no existe un Cuadro Greco-Latino de orden 6?
Un Cuadro Greco-Latino de orden $K$ existe si y solo si existen dos Cuadros Latinos ortogonales de orden $K$.
Esto ocurre cuando $K$ es un número primo o una potencia de un número primo. El número 6 no es primo ($6 = 2 \times 3$) ni es potencia de primo, por lo tanto, no existen Cuadros Latinos ortogonales de orden 6 y, en consecuencia, no existe el Cuadro Greco-Latino de orden 6.
Este problema es famoso como el "problema de los 36 oficiales" de Euler (1779), quien demostró que no es posible disponer 36 oficiales de 6 regimientos diferentes y 6 rangos en un cuadrado de modo que cada regimiento y cada rango aparezca exactamente una vez en cada fila y columna.
En un Diseño en Cuadro Greco-Latino de orden 5, ¿cuántos grados de libertad tiene el error?
Para un Cuadro Greco-Latino de orden $K$:
$$\text{GL}_{\text{Error}} = (K-1)(K-3)$$
Para $K = 5$:
$$\text{GL}_{\text{Error}} = (5-1)(5-3) = 4 \times 2 = 8$$
¿Cuáles son las ventajas del Diseño en Cuadro Greco-Latino frente al Diseño en Cuadro Latino?
En un experimento se utiliza un Cuadro Greco-Latino 4×4. Los totales por letra latina son: A = 45, B = 38, C = 42, D = 35. Si el total general es 160 y $K = 4$, calcule la suma de cuadrados para letras latinas.
La fórmula es:
$$\text{SC}_{\text{Letras Latinas}} = \frac{1}{K} \sum_{h=1}^{K} y_{\cdot\cdot h\cdot}^2 - \frac{y_{\cdots}^2}{K^2}$$
$$\text{SC}_{\text{Latinas}} = \frac{1}{4}(45^2 + 38^2 + 42^2 + 35^2) - \frac{160^2}{16}$$
$$= \frac{1}{4}(2025 + 1444 + 1764 + 1225) - \frac{25600}{16}$$
$$= \frac{6458}{4} - 1600 = 1614.5 - 1600 = 14.5$$
Resolver problemas numéricos avanzados (DCGL 5×5, interpretación).
Los siguientes problemas están basados en ejercicios del Capítulo 5 de Montgomery (2019). Se recomienda resolverlos manualmente y luego verificar con Python.
Un ingeniero agrónomo desea comparar 5 variedades de fertilizante (A, B, C, D, E) en un campo dividido en 5 filas y 5 columnas. Además, se sospecha que el tipo de riego ($\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon$) también afecta el rendimiento. Se diseña un DCGL 5×5 con los siguientes datos de rendimiento (kg/parcela):
| Col 1 | Col 2 | Col 3 | Col 4 | Col 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Fila 1 | Aα=28 | Bβ=18 | Cγ=25 | Dδ=22 | Eε=30 |
| Fila 2 | Bγ=20 | Cδ=15 | Dε=24 | Eα=35 | Aβ=26 |
| Fila 3 | Cε=17 | Dα=23 | Eβ=32 | Aγ=29 | Bδ=19 |
| Fila 4 | Dβ=21 | Eγ=33 | Aδ=27 | Bε=16 | Cα=22 |
| Fila 5 | Eδ=34 | Aε=25 | Bα=18 | Cβ=20 | Dγ=23 |
Preguntas:
El total general es $y_{\cdots} = 617$. Los GL del error son $(K-1)(K-3) = 4 \times 2 = 8$. Recuerde que $F_{\text{crit}}(0.05, 4, 8) = 3.84$.
import numpy as np
from scipy import stats
# ═══════════════════════════════════════════
# Problema 1: DCGL 5×5 - Rendimiento Cultivos
# ═══════════════════════════════════════════
y = np.array([
[28, 18, 25, 22, 30], # Fila 1
[20, 15, 24, 35, 26], # Fila 2
[17, 23, 32, 29, 19], # Fila 3
[21, 33, 27, 16, 22], # Fila 4
[34, 25, 18, 20, 23] # Fila 5
])
K = 5
N = K ** 2
# ── Totales ──
y_i = y.sum(axis=1)
y_j = y.sum(axis=0)
y_total = y.sum()
# Letras latinas (A-E)
y_A = y[0,0]+y[1,4]+y[2,3]+y[3,2]+y[4,1] # 28+26+29+27+25=135
y_B = y[0,1]+y[1,0]+y[2,4]+y[3,3]+y[4,2] # 18+20+19+16+18=91
y_C = y[0,2]+y[1,1]+y[2,0]+y[3,4]+y[4,3] # 25+15+17+22+20=99
y_D = y[0,3]+y[1,2]+y[2,1]+y[3,0]+y[4,4] # 22+24+23+21+23=113
y_E = y[0,4]+y[1,3]+y[2,2]+y[3,1]+y[4,0] # 30+35+32+33+34=164
y_lat = np.array([y_A, y_B, y_C, y_D, y_E])
# Letras griegas (α-ε)
y_alpha = y[0,0]+y[1,3]+y[2,1]+y[3,4]+y[4,2] # 28+35+23+22+18=126
y_beta = y[0,1]+y[1,4]+y[2,2]+y[3,0]+y[4,3] # 18+26+32+21+20=117
y_gamma = y[0,2]+y[1,0]+y[2,3]+y[3,1]+y[4,4] # 25+20+29+33+23=130
y_delta = y[0,3]+y[1,1]+y[2,4]+y[3,2]+y[4,0] # 22+15+19+27+34=117
y_epsil = y[0,4]+y[1,2]+y[2,0]+y[3,3]+y[4,1] # 30+24+17+16+25=112
y_gri = np.array([y_alpha, y_beta, y_gamma, y_delta, y_epsil])
# ── Sumas de Cuadrados ──
FC = y_total**2 / N
SCT = (y**2).sum() - FC
SCF = (y_i**2).sum()/K - FC
SCC = (y_j**2).sum()/K - FC
SCL = (y_lat**2).sum()/K - FC
SCG = (y_gri**2).sum()/K - FC
SCR = SCT - SCF - SCC - SCL - SCG
# ── GL y CM ──
gl = K - 1
gl_R = (K-1)*(K-3)
CM_F=SCF/gl; CM_C=SCC/gl; CM_L=SCL/gl; CM_G=SCG/gl; CM_R=SCR/gl_R
F_F=CM_F/CM_R; F_C=CM_C/CM_R; F_L=CM_L/CM_R; F_G=CM_G/CM_R
p_F=1-stats.f.cdf(F_F,gl,gl_R)
p_C=1-stats.f.cdf(F_C,gl,gl_R)
p_L=1-stats.f.cdf(F_L,gl,gl_R)
p_G=1-stats.f.cdf(F_G,gl,gl_R)
R2 = (SCF+SCC+SCL+SCG)/SCT
print("="*70)
print("TABLA ANOVA - DCGL 5×5 (Rendimiento Cultivos)")
print("="*70)
print(f"{'Fuente':<22} {'SC':>10} {'GL':>4} {'CM':>10} {'F':>8} {'p':>8}")
print("-"*70)
print(f"{'Filas':<22} {SCF:>10.2f} {gl:>4} {CM_F:>10.2f} {F_F:>8.2f} {p_F:>8.4f}")
print(f"{'Columnas':<22} {SCC:>10.2f} {gl:>4} {CM_C:>10.2f} {F_C:>8.2f} {p_C:>8.4f}")
print(f"{'L. Latinas (Fert.)':<22} {SCL:>10.2f} {gl:>4} {CM_L:>10.2f} {F_L:>8.2f} {p_L:>8.4f}")
print(f"{'L. Griegas (Riego)':<22} {SCG:>10.2f} {gl:>4} {CM_G:>10.2f} {F_G:>8.2f} {p_G:>8.4f}")
print(f"{'Error':<22} {SCR:>10.2f} {gl_R:>4} {CM_R:>10.2f}")
print("-"*70)
print(f"{'TOTAL':<22} {SCT:>10.2f} {N-1:>4}")
print("="*70)
print(f"\nR² = {R2:.4f} ({R2*100:.1f}%)")
F_crit = stats.f.ppf(0.95, gl, gl_R)
print(f"F crítico (0.05, {gl}, {gl_R}) = {F_crit:.2f}")Un investigador desea realizar un DCGL para comparar 7 tratamientos. Responda:
En un DCGL 4×4, se obtuvieron los siguientes resultados del ANOVA:
| Fuente | SC | GL | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Filas | 120.5 | 3 | 40.17 | 8.03 |
| Columnas | 85.3 | 3 | 28.43 | 5.69 |
| L. Latinas | 210.7 | 3 | 70.23 | 14.05 |
| L. Griegas | 45.2 | 3 | 15.07 | 3.01 |
| Error | 15.0 | 3 | 5.00 | |
| Total | 476.7 | 15 |
Con $\alpha = 0.05$ y $F_{\text{crit}}(3, 3) = 9.28$:
1. Significancia:
2. Coeficiente de determinación:
$$R^2 = \frac{120.5 + 85.3 + 210.7 + 45.2}{476.7} = \frac{461.7}{476.7} = 0.9685$$
Parciales: $R^2_F = 0.2528$, $R^2_C = 0.1790$, $R^2_L = 0.4421$, $R^2_G = 0.0948$
3. Interpretación: Solo las letras latinas tienen efecto significativo. El factor de letras latinas explica el 44.2% de la variabilidad total, siendo la fuente dominante. El modelo global explica el 96.9% de la variabilidad.
Consultar las fuentes bibliográficas.
Design and Analysis of Experiments
10th Edition. John Wiley & Sons, 2019.
Capítulo 5: Diseños en Cuadros Latinos y diseños relacionados
Diseño Estadístico de Experimentos. Análisis de la Varianza
Grupo Editorial Universitario, 1998.
Experimental Designs
2nd Edition. John Wiley & Sons, 1992.
The Design of Experiments
9th Edition. Macmillan, 1971.