Comprender el contexto y motivación del
Análisis de la Varianza de un factor.
En la investigación científica es frecuente encontrarse con la necesidad de comparar entre sí diversas
alternativas. Algunas de estas situaciones pueden ser las siguientes:
Una compañía algodonera que emplea diversos
fertilizantes desea comprobar si éstos tienen efectos diferentes sobre el rendimiento de la
semilla de algodón.
Una profesora de estadística que imparte
en grupos experimentales de alumnos, en los que explica la misma materia pero siguiendo
distintos métodos de enseñanza, desea comprobar si el método de enseñanza utilizado influye en
las calificaciones de los alumnos.
Una industria química, que obtiene un determinado
producto, está interesada en comprobar si los cambios de temperatura influyen en la cantidad de
producto obtenido.
Todas estas situaciones tienen en común que su interés está centrado en un solo factor con varios niveles
o tratamientos que pueden producir efectos distintos y, por ello, pueden ser abordadas mediante la
técnica estadística del Análisis de la Varianza de un factor o una vía.
El análisis de la varianza fue desarrollado por Fisher en 1925 con el objetivo de
comparar entre sí varios grupos o tratamientos mediante la descomposición de la variabilidad total de un
experimento en componentes independientes que puedan atribuirse a distintas causas.
Para abordar esta situación, se seguirá la siguiente metodología:
Establecer un modelo de comportamiento, que se puede formalizar matemáticamente.
Estimar los parámetros del modelo.
Contrastar la hipótesis de igualdad de medias de los tratamientos.
Comprobar la idoneidad del modelo.
Ejemplo 1.1: Rendimiento del algodón
Una compañía algodonera, interesada en maximizar el rendimiento de la semilla de algodón, desea comprobar
si dicho rendimiento depende del tipo de fertilizante utilizado. A su disposición tiene 5 tipos de
fertilizantes:
Fertilizante 1
Fertilizante 2
Fertilizante 3
Fertilizante 4
Fertilizante 5
51
56
48
47
43
49
60
50
48
43
50
56
53
49
46
49
56
44
44
47
50
51
57
45
45
46
46
En este experimento, se han considerado 5 tipos de fertilizantes que se han aplicado, respectivamente, a
6, 5, 5, 4 y 6 parcelas. La variable de interés o variable respuesta es el rendimiento de la semilla en
peso por unidad de superficie.
Módulo 2
1.2 Planteamiento del
Modelo
🎯
Objetivo
Formalizar matemáticamente el modelo
estadístico para experimentos unifactoriales.
Supongamos un factor con $I$ niveles y que para el nivel $i$-ésimo se obtienen $n_i$ observaciones de la
variable respuesta. Entonces se puede postular el siguiente modelo:
$$y_{ij} = \mu + \tau_i + u_{ij} \tag{1.1}$$
donde:
$y_{ij}$ es la variable aleatoria que representa la
observación $j$-ésima del $i$-ésimo tratamiento.
$\mu$ es un efecto constante, común a todos los
niveles, denominado media global.
$\tau_i$ es la parte de $y_{ij}$ debida a la acción
del nivel $i$-ésimo, llamado efecto del tratamiento $i$-ésimo.
$u_{ij}$ son las perturbaciones o error
experimental.
Estas perturbaciones deben verificar las siguientes condiciones:
Independencia estadística:
$E[u_{ij}u_{rk}] = 0 \quad i \neq r \text{ ó } j \neq k$
Distribución normal
En este modelo, la asignación de las unidades experimentales a los distintos niveles del factor se debe
realizar de forma completamente al azar. Este modelo recibe el nombre de Diseño Completamente
Aleatorizado.
Modelos de Efectos Fijos vs. Efectos Aleatorios
Modelo de Efectos Fijos
En el modelo de efectos fijos el experimentador decide qué niveles concretos se van a considerar y las
conclusiones obtenidas son aplicables sólo a dichos niveles.
Modelo de Efectos Aleatorios
En el modelo de efectos aleatorios, los niveles del factor se seleccionan al azar; es decir, los niveles
estudiados son una muestra aleatoria de una población de niveles.
Módulo 3
1.3 Modelo de Efectos
Fijos
🎯
Objetivo
Desarrollar el modelo de efectos fijos y
formular las hipótesis del contraste ANOVA.
En este modelo, los efectos $\tau_i$ son constantes desconocidas que estamos interesados en estimar.
Podemos reescribir el modelo en la forma:
$$y_{ij} = \mu_i + u_{ij} \tag{1.2}$$
donde $\mu_i$ es la media correspondiente al nivel $i$-ésimo.
Las condiciones del modelo se resumen en:
$y_{ij} = \mu_i + u_{ij}$
$u_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$
$u_{ij}$ son independientes entre sí
Si expresamos $\mu_i$ como suma de dos términos:
$$\mu_i = \mu + \tau_i \tag{1.3}$$
donde el efecto producido por el nivel $i$-ésimo se define como la diferencia entre la media $\mu_i$ del
nivel $i$ y la media general $\mu$. Se debe verificar:
$$\sum_{i=1}^{I} n_i \tau_i = 0 \tag{1.4}$$
¿Por qué debe cumplirse esta restricción?
Esta condición es necesaria para garantizar la identificabilidad
del modelo. Sin
ella, tendríamos infinitas soluciones equivalentes, ya que podríamos sumar cualquier constante $c$ a
$\mu$ y restarla de todos los $\tau_i$ obteniendo el mismo modelo.
La restricción surge de la definición de $\mu$ como media ponderada de las medias
poblacionales:
$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{I} n_i \mu_i}{N}$$
Sustituyendo $\mu_i = \mu + \tau_i$ en esta expresión:
Para que esta igualdad se cumpla, necesariamente $\sum_{i=1}^{I} n_i \tau_i = 0$.
Hipótesis del Contraste
En este modelo se trata de contrastar si todos los niveles del factor producen el mismo efecto:
$$H_0: \tau_i = 0 \quad \forall i$$
frente a la alternativa:
$$H_1: \tau_i \neq 0 \text{ por lo menos para algún } i$$
o, equivalentemente, si todos los tratamientos tienen la misma media:
$$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_I = \mu$$
Notación
$N$ es el número total de observaciones: $N =
\sum_{i=1}^{I} n_i$
$y_{i.}$ es el total de las observaciones bajo
el $i$-ésimo tratamiento: $y_{i.} = \sum_{j=1}^{n_i} y_{ij}$
$\bar{y}_{i.}$ es el promedio del $i$-ésimo
tratamiento: $\bar{y}_{i.} = \frac{y_{i.}}{n_i}$
$\bar{y}_{..}$ es la media general:
$\bar{y}_{..} = \frac{y_{..}}{N}$
Si los tamaños $n_i$ de las muestras son distintos, el modelo recibe el nombre de modelo
no-equilibrado o no-balanceado. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño, $n_i = n$, el
modelo se llama modelo equilibrado o balanceado.
Módulo 4
1.3.1 Estimación por
Máxima Verosimilitud
🎯
Objetivo
Derivar los estimadores máximo-verosímiles de
los parámetros del modelo ANOVA.
La hipótesis de normalidad sobre los términos de error permite construir la función de verosimilitud:
Los estimadores de mínimos cuadrados son los mejores estimadores lineales insesgados (BLUE: Best
Linear Unbiased Estimators) de $\mu$ y $\tau_i$.
Módulo 6
1.3.3 Descomposición
de la Variabilidad
🎯
Objetivo
Comprender la descomposición de la
variabilidad total, la ortogonalidad de los componentes y construir la tabla ANOVA.
Para comparar los efectos de los distintos niveles de un factor se emplea la técnica estadística
denominada análisis de la varianza, abreviadamente ANOVA, que está basada en la
descomposición de la variabilidad total de los datos en distintas componentes.
que expresa cada variable $y_{ij}$ como la suma de tres términos:
La media total $\bar{y}_{..}$, es decir el estimador
de $\mu$
El efecto producido por el tratamiento $i$-ésimo
(desviación de la media del $i$-ésimo nivel del factor respecto de la media total),
$\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..}$, es decir el estimador de $\tau_i$
La desviación entre los valores observados y los
valores previstos por el modelo, $y_{ij} - \bar{y}_{i.}$, es decir el estimador de
$u_{ij}$
Por tanto, la expresión (1.23) también se puede poner en la forma:
$\hat{\boldsymbol{\mu}}$ contiene $N$ coordenadas
iguales a $\bar{y}_{..}$. Tiene, por tanto, 1 grado de libertad.
$\hat{\boldsymbol{\tau}}$ contiene $I$ valores
distintos $\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..}$, cada uno repetido $n_i$ veces y sujetos a una ecuación
de restricción $\sum_{i} n_i(\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..}) = 0$. Tiene, por tanto, $I-1$
grados de libertad.
$\mathbf{e}$ contiene los $N$ residuos sujetos a $I$
ecuaciones de restricción $\sum_{j}(y_{ij} - \bar{y}_{i.}) = 0$ para $i = 1, \ldots, I$. Tiene,
por tanto, $N-I$ grados de libertad.
Ortogonalidad de los Componentes
La descomposición (1.25) está formada por componentes ortogonales dos a dos, ya que se verifica:
La expresión (1.28) representa la ecuación básica del análisis de la varianza, que
simbólicamente podemos escribir:
$$SCT = SCTr + SCR$$
Donde hemos desglosado la variabilidad total de los datos denominada suma total de
cuadrados, en dos partes:
1$SCTr = \sum_{i=1}^{I} n_i (\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{..})^2$: la suma de
cuadrados de las desviaciones de las medias de los tratamientos respecto de la media general,
denominada suma de cuadrados entre tratamientos o variabilidad
explicada.
2$SCR = \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_{i.})^2$: la suma de
cuadrados de las desviaciones de las observaciones de cada nivel respecto de su media,
denominada suma de cuadrados dentro de los tratamientos, variabilidad
no-explicada o residual.
Cuadrados Medios
A partir de las sumas de cuadrados anteriores se pueden construir los denominados cuadrados
medios, definidos como los cocientes entre dichas sumas de cuadrados y sus correspondientes
grados de libertad:
Cuadrado medio total
$$S_T^2 = \frac{SCT}{N-1}$$
Cuadrado medio tratamientos
$$S_{Tr}^2 = \frac{SCTr}{I-1}$$
Cuadrado medio residual
$$S_R^2 = \frac{SCR}{N-I}$$
Esperanzas de los Cuadrados Medios
Consideremos las expresiones de $y_{i.}$, $\bar{y}_{i.}$, $y_{..}$ e $\bar{y}_{..}$, en función de los
parámetros del modelo. Teniendo en cuenta que $\sum_{i} n_i \tau_i = 0$:
El estadístico de contraste para $H_0: \tau_1 = \tau_2 = \cdots = \tau_I = 0$ resulta:
$$F = \frac{S_{Tr}^2}{S_R^2} \sim F_{(I-1, N-I)} \text{ bajo } H_0$$
Interpretación
Si $H_0$ es verdadera:
$E[S_{Tr}^2] = \sigma^2 = E[S_R^2]$, por lo que $F \approx 1$
Si $H_0$ es falsa:
$E[S_{Tr}^2] > \sigma^2 = E[S_R^2]$, por lo que $F > 1$
Tabla ANOVA
Fuente de Variación
SC
GL
CM
F
Tratamientos
$SCTr$
$I-1$
$S_{Tr}^2$
$F$
Residual
$SCR$
$N-I$
$S_R^2$
Total
$SCT$
$N-1$
Regla de Decisión
Se rechaza $H_0$ si $F > F_{\alpha, I-1, N-I}$, o equivalentemente, si el p-valor $< \alpha$.
Módulo 7
Simulador Interactivo:
Señal vs Ruido
🎯
Objetivo
Comprender intuitivamente cómo el estadístico
F compara la variabilidad entre grupos (señal) con la variabilidad dentro de grupos (ruido).
La Intuición Central del ANOVA
El ANOVA responde a una pregunta fundamental: "¿La diferencia que observamos entre las medias
de nuestros grupos (la señal) es lo suficientemente fuerte como para distinguirla de la
variación aleatoria dentro de cada grupo (el ruido)?"
Usa los controles para ajustar la separación entre grupos (señal) y la dispersión dentro de cada grupo
(ruido). Observa cómo cambia el estadístico F:
Estadístico F:1.00
Señal y ruido son similares.
Interpretación
F > 4: La señal domina
claramente sobre el ruido. Las diferencias entre grupos son probablemente reales.
F ≈ 1: Señal y ruido son
similares. No hay evidencia suficiente de diferencias entre grupos.
F < 1: El ruido ahoga la
señal. Las medias de los grupos son muy similares.
Módulo 8
Aplicación Real:
Experimento con Fertilizantes
🎯
Objetivo
Aplicar el ANOVA a un caso concreto de
agricultura experimental y visualizar por qué una diferencia significativa requiere análisis
adicional.
El Experimento
Un agrónomo desea comparar tres mezclas de fertilizantes para el cultivo de tomate. Asigna aleatoriamente
10 plantas a cada mezcla y mide el rendimiento en kg/planta.
Rendimiento de Tomates por Fertilizante
Resultado del ANOVA:
F = 16.67, p-valor < 0.001
✅ Conclusión: Rechazamos $H_0$. Hay diferencias
significativas entre al menos dos fertilizantes.
⚠️ Pero... ¿cuáles son diferentes entre sí? El ANOVA solo
nos dice que hay diferencias, no dónde están. Necesitamos pruebas post-hoc.
Tamaño del Efecto: η² (Eta cuadrado)
Un p-valor pequeño indica significancia estadística, pero no dice nada sobre la importancia
práctica. El tamaño del efecto sí lo hace:
$$\eta^2 = \frac{SC_{Trat}}{SC_{Total}}$$
En este ejemplo, η² = 0.55, lo que significa que el 55% de la variación en el
rendimiento se explica por el tipo de fertilizante. ¡Es un efecto muy importante!
Módulo 9
Pruebas Post-Hoc:
¿Dónde Están las Diferencias?
🎯
Objetivo
Comprender cuándo y cómo usar las pruebas de
comparaciones múltiples después de un ANOVA significativo.
El Problema de las Comparaciones Múltiples
Si realizamos muchas pruebas t por pares, el error Tipo I se acumula. Con 3 grupos hay 3
comparaciones, y la probabilidad de al menos un falso positivo sube de 5% a ~14%.
Principales Pruebas Post-Hoc
Tukey HSD
La más común. Controla el FWER comparando todas las parejas de
grupos. Ideal cuando quieres comparar todos los tratamientos entre sí.
Uso
general
Bonferroni
Divide α entre el número de comparaciones. Muy conservador.
Útil cuando el número de comparaciones es pequeño.
Conservador
Dunnett
Compara cada tratamiento contra un único grupo de control. Más
potente que Tukey para este caso específico.
vs
Control
Scheffé
Permite cualquier tipo de contraste, no solo comparaciones por
pares. El más flexible pero también el más conservador.
Contrastes
Ejemplo: Resultados Post-Hoc (Tukey HSD)
Continuando con el experimento de fertilizantes:
Comparación
Diferencia
IC 95%
p-valor ajustado
Mezcla 3 vs Mezcla 2
1.0 kg
[0.4, 1.6]
0.002 *
Mezcla 3 vs Mezcla 1
2.0 kg
[1.4, 2.6]
< 0.001 ***
Mezcla 2 vs Mezcla 1
1.0 kg
[0.4, 1.6]
0.002 *
Implementación en Python
# Prueba de Tukey con statsmodels
from statsmodels.stats.multicomp import pairwise_tukeyhsd
tukey = pairwise_tukeyhsd(df['rendimiento'], df['fertilizante'], alpha=0.05)
print(tukey.summary())
Módulo 10
Resumen y Buenas
Prácticas
🎯
Objetivo
Consolidar los conceptos clave del ANOVA de
una vía y conocer las buenas prácticas para su correcta aplicación.
Independencia: Las observaciones no deben estar correlacionadas.
Normalidad: Los residuos deben distribuirse normalmente (test de
Shapiro-Wilk).
Homogeneidad de varianzas: Las varianzas deben ser similares (test de
Levene).
Si no se cumplen, considera la prueba de Kruskal-Wallis (no
paramétrica).
Un resultado F significativo es solo el comienzo. Te dice que hay una diferencia,
pero no dónde. Siempre realiza pruebas post-hoc para identificar qué grupos son
diferentes.
La significancia estadística (p-valor) no es lo mismo que la significancia práctica. El
tamaño del efecto (η², ω²) te dice qué tan importante es la diferencia en el mundo real.
Guía para η²: 0.01 (pequeño), 0.06 (mediano), 0.14+ (grande)
El ANOVA es un caso especial de regresión lineal. Podemos codificar los grupos con variables
dummy (0/1) y obtener exactamente el mismo estadístico F.
Por ejemplo, con 3 grupos necesitamos 2 variables dummy. El grupo de referencia
tiene todos los valores en 0.
Resumen Final
El ANOVA de una vía es una herramienta poderosa para comparar 3+ grupos evitando la inflación del
error Tipo I. Recuerda: verifica supuestos → analiza → post-hoc si es significativo → reporta el
tamaño del efecto.
